นัก คณิตศาสตร์ เผยว่า “เท่ากับ” มีความหมายมากกว่าหนึ่งอย่าง
ในทาง คณิตศาสตร์ มีแนวคิดคลุมเครืออยู่หลายอย่างซึ่งยากจะเข้าใจแต่ความหมายของ “เท่ากับ” เป็นแนวคิดหนึ่งที่เราคิดว่าเราเข้าใจแล้วปรากฏว่านักคณิตศาสตร์ไม่สามารถตกลงกันได้ในคำจำกัดความว่าอะไรทำให้สองสิ่งเท่ากันและนั่นอาจทำให้โปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ใช้ตรวจสอบการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์มีปัญหาได้
การโต้เถียงในเชิงวิชาการนี้เกิดขึ้นมานานหลายทศวรรษแต่ในที่สุดก็มาถึงจุดแตกหัก เพราะโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ใช้สำหรับ “ทำให้เป็นทางการ” หรือตรวจสอบการพิสูจน์ต้องมีคำสั่งที่ชัดเจนและเฉพาะเจาะจงไม่ใช่คำจำกัดความที่คลุมเครือของแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เปิดกว้างต่อการตีความหรืออาศัยบริบทที่คอมพิวเตอร์ไม่มี
นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Kevin Buzzard จาก Imperial College London ประสบปัญหานี้เมื่อทำงานร่วมกับโปรแกรมเมอร์ คอมพิวเตอร์
และนั่นทำให้เขาต้องกลับไปพิจารณานิยามของคำว่า สิ่งนี้เท่ากับสิ่งนั้น อีกครั้ง เพื่อ “ท้าทายสโลแกนต่างๆ ที่ฟังดูสมเหตุสมผลเกี่ยวกับความเท่าเทียมกัน”
Buzzard เขียนไว้ในพรีปรินท์ที่โพสต์บนเซิร์ฟเวอร์ arXiv ว่า “เมื่อหกปีก่อน ฉันคิดว่าฉันเข้าใจความเท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์แล้ว
ฉันคิดว่ามันเป็นคำนิยามเดียวที่มีการกำหนดไว้อย่างชัดเจน… จากนั้นฉันเริ่มพยายามทำคณิตศาสตร์ระดับปริญญาโทด้วยโปรแกรมพิสูจน์ทฤษฎีบทคอมพิวเตอร์และฉันก็ค้นพบว่าความเท่าเทียมกันเป็นแนวคิดที่ค่อนข้างซับซ้อนกว่าที่ฉันเคยเข้าใจ”
เครื่องหมายเท่ากับ (=) ซึ่งมีเส้นขนานสองเส้นที่แสดงถึงความเท่าเทียมกันระหว่างวัตถุที่วางอยู่ทั้งสองข้างอย่างสง่างาม ได้รับการประดิษฐ์ขึ้นโดย Robert Recorde นักคณิตศาสตร์ชาวเวลส์ในปี ค.ศ. 1557
ในตอนแรกไม่ได้รับความนิยม แต่เมื่อเวลาผ่านไป สัญลักษณ์ที่เข้าใจได้ของ Recorde ก็เข้ามาแทนที่วลีภาษาละตินว่า “aequalis”
และต่อมาก็ได้วางรากฐานสำหรับวิทยาการคอมพิวเตอร์ 400 ปีพอดีหลังจากการประดิษฐ์ เครื่องหมายเท่ากับถูกนำมาใช้เป็นส่วนหนึ่งของภาษาโปรแกรมคอมพิวเตอร์ FORTRAN I เป็นครั้งแรกในปี 1957 อย่างไรก็ตาม แนวคิดเรื่องความเท่าเทียมมีประวัติศาสตร์ยาวนานกว่ามาก
อย่างน้อยก็ย้อนกลับไปถึงกรีกโบราณ และในทางปฏิบัติ
นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ใช้คำนี้ "อย่างคลุมเครือ" Buzzard เขียน ในการใช้ที่คุ้นเคยเครื่องหมายเท่ากับเป็นการตั้งสมการที่อธิบายวัตถุทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ที่มีค่าหรือความหมายเดียวกัน ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ด้วยการสลับไปมาเล็กน้อยและการแปลงตรรกะจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่ง ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็ม 2 สามารถอธิบายวัตถุคู่หนึ่งได้ เช่นเดียวกับ 1 + 1 แต่คำจำกัดความที่สองของความเท่าเทียมได้ถูกนำมาใช้ในหมู่นักคณิตศาสตร์ตั้งแต่ ปลายศตวรรษที่ 19 เมื่อทฤษฎีเซตถือกำเนิดขึ้น
ทฤษฎีเซตได้พัฒนาขึ้น และคำจำกัดความของความเท่าเทียมของนักคณิตศาสตร์ก็ขยายออกไปด้วยเช่นกันเซตเช่น {1, 2, 3} สามารถถือว่า “เท่ากัน” กับเซตเช่น {a, b, c} ได้เนื่องจากความเข้าใจโดยนัยที่เรียกว่าไอโซมอร์ฟิซึมเชิงแคนนอนิคัลซึ่งเป็นการเปรียบเทียบความคล้ายคลึงกันระหว่างโครงสร้างของกลุ่ม“เซตเหล่านี้ตรงกันโดยธรรมชาติโดยสิ้นเชิงและนักคณิตศาสตร์ก็ตระหนักว่าจะสะดวกมากหากเราเรียกเซตเหล่านี้ว่าเท่ากันด้วย”
บัซซาร์ดบอกกับอเล็กซ์ วิลกินส์จากนิตยสารนิวไซแอนติสต์ อย่างไรก็ตามการใช้ไอโซมอร์ฟิซึมเชิงแคนนอนิคัลเพื่อหมายถึงความเท่าเทียมกันนั้นกำลังก่อให้เกิด “ปัญหาที่แท้จริง” บัซซาร์ดเขียนสำหรับนักคณิตศาสตร์ที่พยายามทำให้การพิสูจน์เป็นทางการ –รวมถึงแนวคิดพื้นฐานที่มีอายุหลายสิบปี – โดยใช้คอมพิวเตอร์ “ระบบ [คอมพิวเตอร์] ที่มีอยู่จนถึงขณะนี้ไม่มีระบบใดเลยที่สามารถจับภาพวิธีที่นักคณิตศาสตร์ เช่น
โกรเธ็นดิเอค ใช้สัญลักษณ์เท่ากับ” บัซซาร์ดบอกกับวิลกินส์
โดยอ้างถึงอเล็กซานเดอร์ โกรเธ็นดิเอค นักคณิตศาสตร์ชั้นนำในศตวรรษที่ 20 ซึ่งอาศัยทฤษฎีเซตเพื่ออธิบายความเท่าเทียมกันนักคณิตศาสตร์บางคนคิดว่าพวกเขาควรนิยามแนวคิดทางคณิตศาสตร์ใหม่เพื่อให้ความเท่าเทียมระหว่างความเท่าเทียมกับความเท่าเทียมอย่างเป็นทางการบัซซาร์ดไม่เห็นด้วยเขาคิดว่าความไม่สอดคล้องกันระหว่างนักคณิตศาสตร์กับเครื่องจักรควรกระตุ้นให้นักคณิตศาสตร์คิดใหม่ว่าพวกเขาหมายถึงอะไร
โดยเฉพาะอย่างยิ่งแนวคิดทางคณิตศาสตร์ที่เป็นพื้นฐานอย่างความเท่าเทียม เพื่อที่คอมพิวเตอร์จะเข้าใจได้ “เมื่อเราถูกบังคับให้เขียนสิ่งที่หมายถึงจริงๆ และไม่สามารถซ่อนตัวอยู่เบื้องหลังคำที่ไม่ชัดเจนเหล่านี้ได้” บัซซาร์ดเขียน “บางครั้งเราพบว่าเราต้องทำงานพิเศษหรือแม้แต่คิดใหม่ว่าควรนำเสนอแนวคิดบางอย่างอย่างไร”
.
ที่มา : https://www.sciencealert.com/mathematician-reveals-equals-has-more-than-one-meaning-in-math